Nörttäilykysymys: onko 0,999... = 1 ?

= 1 ?​

Onkos Plazalla matikkaihmisiä? Kiinnosti asia ketään tai ei, päätin laittaa tällaisen pollin pystyyn, sillä sain tänään aikamoista väittelyä aikaan lukiolaiskavereiltani asiaa kysyessä, ja vastaukseksi sain kaikilta, että 0,999... ei ole yhtä suuri kuin 1. Mutta se kun vaan on. Vaikka en sanoisikaan olevani mikään kuningas matematiikassa, niin se vaan on silti noin.

Lisätään vielä messiin maailman luotettavin lähde:
http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...#Proofs

 

No minä uskallaudun sanomaan, että ei se kyllä ole "1", joskin asia riippuu siitä miten kyseiseen pähkinään suhtautuu. Pitkän matiikan oppitunneista on jonkin verran aikaa, mutta perustelisin oman näkemykseni siten, että eikös se 0.999...=1 ole käytännön matiikassa hyväksytty siksi, että niiden ero on häviävän pieni.

Jos kuitenkin otetaan matemaattiseksi pulmaksi nimenomaan se, onko 0.999... yhtä kuin 1, niin eihän se voi olla. 0.999... voi jatkua äärettömyyteen, mutta ei se ikinä silti muutu ykköseksi.

Eli: käytännön kannalta nämä kaksi lukua voidaan hyväksyä yhtä suuriksi, mutta absoluuttisessa matematiikassa eivät ne mielestäni (ehkä vähän väärä termi; matematiikassa on vaikea olla mitään mieltä kuitenkaan ) voi olla yhtä suuria.

 

No kyllä se on. Jos asian miettii esm. murtolukujen kautta, niin se selkenee hienosti. ( 3x1/3=1 , mutta 1/3 on n. 0.33333...)

 

Juuri noin.

Seuraava esimerkki minun mielestäni havainnollistaa asian hyvin:

x = 0,999... || * 10 (kommentti: pilkun jälkeen ääretön määrä ysejä)
10x = 9,999... || - x (kommentti: pilkun jälkeen ääretön määrä ysejä)
10x - x = 9,999... - x (kommentti: x:ää on alussa merkitty 0,999...:llä, joten voidaan sijoittaa se yhtälön oikealle puolelle)
10x - x = 9,999... - 0,999... (kommentti: pilkkujen jälkeen ääretön määrä ysejä -> kumoavat toisensa)
10x - x = 9
9x = 9 || : 9
x = 1

Edit: Toinen hyvä tapa (oikeastaan havainnollisempikin) on tuo Wile E Coyote:n yllä mainitsema.
Edit2:

Kysymys on pitkälti teoreettinen (luvun 0,999... ajatteleminen on konstikasta, koska "ääretöntä määrää ysejä" ei ole olemassa joka päiväisessä elämässä); siksi käytännöstä puhumisen ja maalaisjärjen käytön voi oikeastaan unohtaa, koska kysymys on lopulta pelkästään laskulakien toteutumisesta. Semmosta se matikka on.

 

Itse asiassa ei. Jos molemmat luvut jatkuvat äärettömyyteen, ne eivät ikinä ole saman arvoisia, jolloin pilkun jälkeiset ysit eivät kumoakaan toisiaan. Pattitilanne.

EDIT: Eli 0,999... != 1

 

0,999... lähestyy ykköstä, mutta koskaan se ei sitä ole. Monesti voidaan olettaa sen olevan yhtäkuin yksi, mutta joka kerta se täytyy erikseen päättää. Jos laskussa on muita epätarkkustekijöitä jotka ovat suurempia kuin tuo oletus niin se voidaan tehdä. Esimerkiksi fysiikan laskuissa näin voidaan tehdä muidenkin lukujen kohdalla laskemisen helpottamiseksi. Silloin lopputulos ei ole täysin tarkka, mutta tarpeeksi tarkka kuitenkin. Mutta matematiikassa ei kuitenkaan ole olemassa säännöksiä tuollaiselle pyöristämiselle. 0,999... on aina erisuuri kuin 1.

 

Mikseivät kumoisi? Jos teet vähennyslaskun allekkain:
9,999...
- 0,999...
9,000...

Huomataan, että allekkain vähennettäessä tulee loputtomasti vähennyslaskuja 9-9 jotka saavat tulokseksi 0.

 

0.999*0.999=0.998001
1*1=1

Päätelkää siitä :hitme:

 

Mitä tästä voi päätellä? Sinulla ei ole tässä lukua 0,999... eli lukua , vaan luku 0,999.

 

Hmm...autetaan vähän...

0.999...+0.111...=1
1+0.111...=1.111...

 

Aivan, loputtomasti. Laskutoimitus ei lopu ikinä vaan jatkuu äärettömyyksiin. Tällöin laskutoimituksesta ei saada ikinä tulosta.

Ääretön miinus ääretön ei ole nolla, vaan mahdoton laskutoimitus.

 

Ei täsmää...

Miten olisi:
0,000...001+0,999...=1 En tosin tiedä voiko tuo 0,000...001 jatkua äärettömästi jos se kerran johonkin loppuu.
0,111...+0,999...=1.1

 

Katoin vaan huomaaks kukaan

Eli juuri noin

0.999...+0.000...1=1
1+0.000...1=1.000...1

taih...

0.999...+0.000...5=1.000...4
1+0.000...5=1.000...5

 

2x1=2
2x0,999... != 2

Ihan sama mitä joku kirja sanoo minulle 1!=0,999....

 

Samaa olin just kirjoittamassa.

 

Oikeastaan ne eivät ole vain yhtä suuret, vaan yksi ja sama asia, joka on kirjoitettu kahdella eri notaatiolla.

 

On se. Jos muuta väittää niin ei tajua raja-arvojen päälle yhtään mitään.

 

Ei näin. 0.000...1 on matemaattisesti mahdoton luku, siinä kun on maailman tappiin asti (ja vielä äärettömästi pidemmälle ) nollia, ja silti se päättyisi ykköseen

Nuo aiemmin annetun wikipedia linkin perustelut ovat aika kansantajuisia ja simppeleitä perusteluita sille miksi 0.999... on pakko olla 1. Joko niin, tai sitten muutamat aika perustavanlaatuiset matematiikan kaavat menevät uusiksi.

Simppeli päättelyketju (perustuu yhteen wikipedian esimerkkiin käänteisenä):
0.999... != 1 ->
3*0.333... != 1 ->
3*1/3 != 1 ->
3/3 != 1 ->
1!=1

 

Näin yliopistossa opiskelevana näen lievää ironiaa tuossa, että luonnontieteisiin (mihin kuuluu absoluuttiset faktat) liittyvää ongelmaa jotkut haluavat ratkaista sillä, että 0.999... johtaa johonkin (siihen ykköseen). Tuohan (että jokin johtaa johonkin) kuulostaa ihan... dare I say it... humanistiselta ajattelutavalta.

 

Hei mä oon teitä kaikkia loputtomasti fiksumpi+1 ja lukko kiinni :king::king: