Nörttäilykysymys: onko 0,999... = 1 ?

Kyllä sen luin, mutta sisäinen matemaatikkoni uhkuu kyseenalaistamista. Sitä paitsi, Bagheera pitäisihän sinun tietää, että Wikipediaan voi periaatteessa kuka tahansa kirjoittaa mitä puppua vaan.

Minusta se on jopa matemaattisessa mielessä järkevää kyseenalaistaa se, että 0.999... on yhtä kuin 1. Ovathan ne ainakin "edes päällisinpuolin" aivan kaksi eri lukua.

 

Aivan. Itse siis kyseenalaistan tämän, että eihän se muutu. Ilmeisesti avain tähän ongelmaan on joidenkin mielestä se, että itse asiassa "ääretön" määritellään ihan eri tavalla kuin mitä luulisi (eli ettei ääretön tarkoitakaan tässä tapauksessa, että ysit vain jatkuvat ja jatkuvat).

 

Ei kun se nimenomaan tarkoittaa sitä, että ääretön on ääretön, ikuinen, päättymätön. Jos otat pilkun jälkeen oikealta jostain äärettömyydestä yhden yhdeksikön, niin sen oikealla puolella on vielä ääretön määrä ysejä. Juuri tästä johtuu, että 0,999... on tasan tarkalleen sama luku kuin 1.

 

Kysymys olikin korkeamatemaattinen kompa.


Matemaattikkojen knoppailua tai ei, mutta arkimatematiikassa 0,99999... EI OLE YHTÄ KUIN 1.

Seuraavaksi jäämmekin odottelemaan 3:n osoittamista todellisuudessa 5:ksi ja uuden kokonaisluvun löytymistä ja todistusta 6:n ja 7:n välistä.

 

Juuri tätä kaverinikin inttää. Ihmettelen vain, että miten voi sanoa, että "onhan asia noin matemaattisesti ajateltuna, mutta käytännössä ei" kun ei missään "arjessa" tule eteen ääretöntä määrää desimaalia 9? Kun ainoa viitekehys, jossa "ongelmaa" voidaan puida, on matemaattinen, on tyhmää väittää, että 0,999... olisi mitään muuta kuin 1. Mitä hemmettiä se arkimatematiikka sitä paitsi on? Ei matikasta ole mitään erilaisia ristiriitaisia special editioneita.

En tajua, mikä on ongelma. Vastaväitteellä voi todistaa, että 3 ja 5 eivät ole sama luku, sillä on olemassa ääretön määrä muita reaalilukuja niiden avoimessa välissä, esim, 3,0002324 tai 4,95966. Teeppä sama 0,999...:lle ja ykköselle.

 

Mikäköhän logiikka tuossakin nyt on? Ysejä jatkuu maailman loppuun ja pidemmälle, muttei se voi muuttaa lukua toiseksi.

 

OK, anteeksi. En vain pystynyt ymmärtämään lausetta "voisihan tuosta ottaa selvää, hyväksyykö matemaatinen maailma..." siinä kontekstissa, että ton artikkelin on lukenut. Referenssilista antaa mielestäni sen verran pitävän todisteen matemaattisen maailman hyväksynnästä. Ja joo, kyllä Wikipediassa on myös puupua, mutta että tähditetty artikkeli, joka vilisee referenssejä olisi täysin väärässä...?

Uskaltaisin jopa väittää, että se ei ole sisäinen matemaatikkosi, joka uhkuu kyseenalaistamista. Matemaattisesti tossa ei ole mitään hämärää. Sen sijaan ton asian hyväksyminen on intuitiotasolla useimmille vaikea.

Tässä teet jonkun ihmeellisen loogisen hyppäyksen. Toi asia perustuu nimenomaan siihen, että ne ysit jatkuu ja jatkuu. Luku voi silti olla sama, vaikka sitä kirjoitetaan eri tavalla.

 

Ei tässä mistään kompasta ole kyse ja arkimatematiikassa jo 0,9999 on 1 suurpiirteisen pyöristelyn ansiosta.

Enpä menisi sanomaan että sisälläsi on minkäänlaista matemaatikkoa.

 

Lyhyestä lyhennetyllä hylsymatikallani en kykene ymmärtämään asiaa matemattisesti. Logiikkani mukaan yhdeksikköjen jono jatkuu äärettömään l. ∞:een eikä täyttä ykköstä koskaan saavuteta.

Puhuinkin kokonaisluvuista l. luvusta missä ei ole desimaaleja jos termi ei ole oikein.
Vai oletko jo löytänyt uuden numeron 6:n ja 7:n välistä?

 

Väitteesi ei perustu logiikkaan, vaan intuutioon. Älä sotke niitä keskenään.

 

Selittäkää yksinkertaisesti, miten se sitten on mahdollista?

Eikö ääretön olekaan ääretön vai onko olemassa jotain (minulle) tuntemattomia pyöristyssääntöjä esim. kymmenen miljardin desimaalin jälkeen YK:n säätämänä yleisen hyvinvoinnin edistämiseksi tms?

 

Ei tämä välttämättä ole yksinkertaisesti selitettävissä, ja kuten tossa alussa linkitetyssä Wikipedia-artikkelissa sanotaan, niin voimme rakentaa lukujärjestelmiä, jossa tämä yhtälö ei pidä paikkansa. Silloin joutuisimme kuitenkin luopumaan osasta reaalilukujärjestelmää rakentavista laeista.

Ehkä minulle parhaiten intuitioon menevä selitys on sellainen, että aina jos yritämme tehdä eron 1:en ja 0.9999..9 sarjan väliin, voimme aina laittaa yhden 9:n lisää, eli eroa emme näitten välille millään saa*.

Toinen tapa on miettiä, hyväksyykö sen, että 1/3 on tasan 0.333... Ei yhtään isompi tai pienempi (sarjaan ei koskaan tule kakkosta tai nelosta, eikä se katkea). Jos tämän hyväksyy, niin 3*1/3=1 ja 3*0.333...=0.999... => 1=0.999...

Tärkein on ehkä tajuta se, että vaikka luku kirjoitetaan eri tavalla, se voi silti olla sama.

* Edit: 1 - 0.999... =0.000..., eikä se ykkönen koskaan ilmesty sinne nollien perään, koska ysien (ja siten nollien) sarja on oikeasti ääretön. Ja jos erotus on 0, niin luvut ovat samat.

 

Tämä on oikeasti aika hauskaa, tästä syntyy kaikkialla juuri samanlaista laskenta vs. intuitio -kädenvääntöä, kuin Wikipedian artikkelin Students-osiossa selostetaan. Siis juuri ylhäällä sanoin, että ääretön on ääretön vaikka uppopaistaisi.

Yritän nyt jotenkin purkaa tätä ongelmaa: sulla on tässä juuri semmoinen hämärä ajatus, että tuo 0,999... olisi jokin olio, joka lähtee lampsimaan 0,9:stä lähtien ensin 0,99:än, sitten 0,999:än, 0,9999 ja niin edelleen, vaikka voisit saman tien hyväksyä, että lukematon määrä ysejä on desimaalipilkun oikealla puolella koko ajan. Onko se oikeasti niin vaikeaa sulattaa, että 0,999...=1 vaikka nuo hieman erilaisilta näyttävät? Luitko tuon todistuksen geometrisella sarjalla? Luitko muutenkaan aiempia esimerkkejä, millä asia todistetaan oikeaksi? Koska ei ainakaan niissä murtolukujen desimaaliesityksillä tehdyissä todistuksissa esiinny mitään "korkeamatematiikkaa". Monet noista todistuksista aukeavat (ja pätevät), vaikkei olisi juuri kuullut äärettömän käsitteestä yhtikäs mitään.

 

Näin selitettynä pystyn tämän ymmärtämään. Well done. :thumbsup:


Kyllä tässä "vähän" knoppitehtävän makua oli...

 

Matematiikka pohjautuu täysin aksioomiin, eli sopimuksiin, joiden pohjalle koko matemaattinen teoria on rakennettu. Reaalilukujen tapauksessa pohjalla ovat nämä aksioomat. Matematiikka poikkeaa siis siinä mielessä monesta muusta tieteestä, kuten esim. fysiikasta, että matematiikassa kaikki oikeaksi todistetut väitteet voidaan tarvittaessa palauttaa noihin muutamiin perussopimuksiin. Mikäli noita sopimuksia muutetaan, saadaan aikaan aivan erilaista matematiikkaa.

Kuten tuolla ylempänä jo kerroin, tämä tässä ketjussa käsitelty väittämä voidaan johtaa suoraan näistä reaalilukuaksioomista. Ko. väite on siis matemaattisesti katsoen reaalilukuanalyysin perusasioita.

Lukiopohjalta tätä asiaa on valitettavasti hankala tajuta, koska lukiossa opetetaan laskuoppia, ei matematiikkaa. Kun on kyse äärettömyydestä, niin puhutaan asiasta jonka ymmärtäminen vaatii nimenomaan aksiomaattisen teorian opiskelua. Laskimen avulla ei voi tutkia äärettömän käsitettä, ja siksi tämä asia niin vaikea suurimmalle osalle ihmisistä onkin.

Yhteenveto: suurimmalle osalle ihmisistä tällä väittämällä ei ole mitään merkitystä, ja jos asia tuntuu hankalalta käsittää, niin parempi antaa asian vain olla. Nuo ketjun alussa esitetyt todistukset tuntuvat silloin luultavasti tosiaan pelkiltä knoppailuilta, joilla ei ole mitään oikeaa merkitystä. Äärettömyys ei ole luku.

Jos haluaa pelkän laskemisen sijaan oikeasti ymmärtää mistä matematiikassa on kyse, niin sitten ei oikein muu auta kuin alkaa opiskella aksioomia...

 

Mun intuitio hyväksyy asian ihan helposti. Ei tarvita mitään pyöristyksiä. Ajatelkaa lentokoneen laskeutumista, siinä mennään aina vaan lähemmäksi maata ja lopulta yhdytään siihen.

 

Kyllähän esim. 1 = 3 x 1/3 = 3 x 0,333... = 0,999... on selkeä selitys.

Oleellista on ymmärtää että jos 1 > 0,999... niin 1 - 0,999... = epsilon > 0. Mikä tuon epsilonin arvo sinusta on? Esititpä kuinka pienen luvun tahansa niin voin antaa sinulla niin monta yhdeksikköä että erotus onkin pienempi eli induktiolla mennään nollaan ja 1 = 0,999...

Ihan samalla tavalla luku 2 voidaan esim. esittää muodossa 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2^n kun n -> ääretöntä.

 

Moni koululainen sitä kovasti odottaakin...

 

Olen joskus miettinyt, onko missään mitään järkeä. Kun esim. kaksi teräskuulaa (tai ihan mitä vain) lähestyy toisiaan, niiden etäisyys toisistaan voidaan aina ilmoittaa tarkemmin, kun vain desimaaleja lisätään. Voivatko ne tällöin koskaan törmätä toisiinsa, kun välimatka voidaan aina ilmoittaa desimaaleja lisäten äärettömyyteen saakka.:hitme:

 

Itse näkisin tässä todistuksessa ongelmana sen, että todistettaessa 0,999...=1 oletetaan 0,333...=1/3 eli väitettä todistetaan olettamalla väite jo todeksi. Tuo 0,333...=1/3 on vain kyseinen väite jaettuna kolmella.

Itseasiassa 10/9.

Edittiä. väitteeseen uskon muitten todistusten valossa. Nämä vaan näkisin epäkohtina.