Nörttäilykysymys: onko 0,999... = 1 ?

Ei ihme,että talous menee päin AHoa,enkä nyt puhu eskosta

 

http://fi.wikipedia.org/wiki/Planckin_pituus

okei.

 

Sekoitanko päätäsi lisää, kun mainitsen, että "teräskuula" on itseasiassa tyhjää täynnä. Jokunen rauta-atomi (plus isotoopit), hiili-atomi (sama) ja jokunen muu sekalainen atomi. Jokainen näistä atomeista koostuu ytimestä ja elektronipilvestä. Ydin koostuu protoneista ja neutroneista. Ne taas voidaan jakaa vielä pienempiin osiin - alkeishiukkasiin. Elektronipilvi (kvanttimekaniikan ennustama orbitaali) on suhteessa ytimen kokoon järkyttävän kaukana ytimestä. Kuin aurinko ja Pluto. Näitä "pareja" on vieri vieressä miljoonia, miljardeja, isompia potensseja. Kun kaksi teräskuulaa kohtaa toisensa, kaksi tyhjää kohtaavat. Jos välissä olisi yksi alkeishiukkanen ilman varauksen aiheuttamaa voimakenttää, esimerkiksi nyt elektroni, niin n. 2 x 10^−22 m olisi välimatka, joka erottaisi teräspallon typötyhjät elektronipilvet toisistaan. Siis 0,0000000000000000000002 metriä. Tuosta rajapyykkinä toimivan elektronin keskipisteestä olisi matkaa lähimmän rauta-atomin ytimeen 0,000000000000001 m. Olkoon mittatarkkuus vaikka ääretön, niin 2,000... x 10^-22 m välimatka kuroutuu umpeen 2,000... x 10^-22 sekunnissa, jos teräskuulat lähestyvät toisiaan 1 ms^-1 nopeudella. Nyt on siis kaksi kappaletta toisissaan kiinni... Vai onko. Uloimmat elektronit ovat tietyllä todennäköisyydellä tietynmuotoisella orbitaalilla ja yksittäinen elektroni tietyllä todennäköisyydellä voi kohdata toisen atomin elektronin. Kun ja jos se kohtaaminen tapahtuu, niin elektronit hylkivät toisiaan, koska ovat negatiivisesti varautuneita. On arvioitu, että 2.8179 × 10^−15 m on yksittäisen elektronin + sen voimakentän halkaisija. Kaksi elektronia ei pääse toisiaan sitä "lähemmäksi", mission impossible (joku kvanttifysiikan expertti saa selventää - liittyy elektronien spinlukuihin ja energiatiloihin). Mittatarkkuus ei ole oleellista. Riittävällä energialla tapahtuvassa elektronien "törmäyksessä" syntyy valokvantti - fotoni (alkeishiukkanen sekin) ja muuta säteilyä. Jos hanaa kääntää vielä kaakkoon, niin syntyy jo antimateriaa ynnä muuta kivaa. Antimateriaa on esimerkiksi positroni - positiivisesti varautunut elektroni. Sitä luodaan päivittäin PE-kuvantamisen yhteydessä sopivin laittein varustetuissa sairaaloissa.

 

Siis jos lyö naulaa vasaralla niin vasara ei oikeasti naulaa kosketa?

 

Niin, milloin se vasara on tarpeeksi lähellä naulaa, jotta se kimpoaa takaisin...siinähän on äärettömyys välissä!

edit. siis mikä on se pienin etäisyys? Olen joskus nuorena meinannut menettää järkeni tätä ja muita yhtä tyhmiä juttuja miettiessä.

 

0,999.. = 1 mutta ei 1,0.

Turha tarkkuus on teknistä tietämättömyyttä.

 

Vastasin heti kysymyksen luettuani, että ei ole, mutta nyt alan jo melkein uskoa, että on. Muttamutta:


Tuli mieleen "käytännön" esimerkki. Oikeastaan toivon, että todistatte tämän, että saan rauhan. Eli pääseekö kani perille?

Äärettömän pieni pupujussikka, jolla on äärettömän pienet ja äärettömän söpöt jalat yrittää saada matkustettua metrin matkan. Kanin vasen takajalka on kipeä ja tulee loikkimisesta aina vain kipeämmäksi ja tästä syystä hypyn pituus pienenee niin, että loikka on vain 90% jäljellä olevasta matkasta. Kanin maksimaalinen ponnistuskyky terveillä jaloilla olisi metrin, mutta nyt se siis on vain 90cm. Ensimmäinen loikka on siis 90cm, toinen 9cm, kolmas 9mm jne. Kolmen hypyn jälkeen matkaa on taitettu 0,999m ja kymmenen jälkeen 0,999999999m. Pupu on sen verran sitkeä, että hyppää hypyn äärettömän monta kertaa (kuolematon kun on ).

Pääseekö se perille? Eihän se voi päästä, jos jokainen hyppy on vain 90% jäljellä olevasta matkasta. Vai voiko? Kertokaa fiksummat.

Jatketaan käytännön esimerkkejä

Spoiler

Jos pupu on äärettömän pieni (ja 0,999... = 1), niin silloinhan pupun koko on 0 ja pupua ei ole siis olemassa... Mutta kuka kertoisi sen pupulle? Ei ole varmaan kiva kuulla tuommoista, kun jo koulussakin sai aina kuulla kuittia pienestä koosta...

 

Tehkääpä seuraavat laskutoimitukset tietokoneella tai taskulaskimella (tarkoituksellisesti ysejä on esimerkissäni karrikoidusti vain 4 kpl, jotta laskinlaitteen laskentatarkkuus pysyisi selvästi suurempana kuin laskettava luku, ja tulos ei pyöristyisi kuoliaaksi laskimen itsensä takia):

neliöjuuri (1-1) = ?

neliöjuuri (0,9999-1) = ?

niin ymmärrätte asian. Eivät ole läheskään sama asia, ja softat/taulukkolaskimet jopa saattavat kaatua erroreihin.

Reaalielämän eli kaduntallaajan laskinkoneilla ei kyetä käsittelemään topikin otsikon kuvailemia teoreettisen juppimatematiikan knoppeja, joiden oikea paikka on filosofian laitoksen vessan seinällä, siinä vieressä, jossa lukee, että:
Elämän tarkoitus oli?
Vessapaperi loppui, apuuuva!?
Lissu antaa kaikille, soita numeroon: 0 5 5 - 0,99999999999999... 2 3 4 3 2 0,99999999999999999999...

(ei taida Lissun puhelin kovin usein piristä, jos alkaa niitä ysejä naputella äärettömän paljon; soittajan kännystä tyhjenee akkukin sen ekan "ykkösen" syöttämisvaiheessa.)



Matemaattinen todellinen ja vaikuttava ero kahden (minkä tahansa) luvun välille syntyy sillä hetkellä kun luku joudutaan laskimeen syöttämisen vaiheessa kuvailemaan laskinlaitteen ymärtämässä lyhennetyssä muodossa. Esimerkiksi vain 16 merkitsevän numeron pätkänä, vaikka niitä ysejä olisi ääretön määrä.

Ihminen ei silti saa alkaa päässään pyöristellä arvoja, vaan hän syöttää taulukkolaskimen sisään esim. paperille kirjoitettuja merkkejä sellaisenaan, juuri täsmälleen niin miten paperilla lukee, niin monta merkkiä kuin kone ottaa vastaan. Kone sitten tekee saamillaan merkeillä mitä se kykenee.

Näsäviisas knoppifilosofi-matemaatikko ehkä pyöristelee näkemänsä luvut/tilinumerot/viitenumerot/saldot päässään miten sattuu. Uusimman matikkafilosofian muodin mukaisesti, saaden eri päivinä eri tuloksia samoista annetuista vakioluvuista, ja sitten on Nokian liikevaihto sekaisin ja konkurssi seuraa.

Onneksi (tai toivottavasti) knoppipellejä ei päästetä koskemaan tietokoneisiin, nimittäin matematiikassa ja ohjelmoinnissa yksi on tasan yksi ja sitten on ihan erikseen se nolla pilkku mitävain, sekin pysyy arvossa nolla pilkku mitävain, sitä ei saa pyöristellä ykköseksi tai kolmoseksi omin luvin.



Eli kun jo kivikaudella Jaakko Järkevä-Neardental-Janatuinen laskeskeli kysymystäni kivitaulu-Pentiumillaan, hän sai tulokseksi:
neliöjuuri (1-1) = 0
neliöjuuri (0,9999-1) = ERROR

, joka on aivan oikein laskettu, niin täsmälleen sama tilanne pätee vuonna 2008; laskemistapa ei ole muuttunut eikä muutu edes vuonna 9988776655 kesällä kello kolme.

Reaalielämän lukemat ja laskinlaitteet tekevät luvuille valtavan eron, jopa katastrofaalisen. Näsäviisaat filosofiset pulmat eivät kuulu reaalielämän matematiikkaan, kun lasketaan mitä maksaa maitolitra ja jääkö enää rahaa pullaan.



Jos joku ei vieläkään ymmärrä numeroiden kunnioitusta ja asian vakavuutta, yrittäköön maksaa nettipankissa 0,01 euron laskun silloin kun tilin saldo on tasan nollassa. Filosofinen kääkkä päässään pyöristää laskun nollaksi ja kuvittelee laskun maksun onnistuneen. Vaan eipä saa rahan vastaanottaja yhtään mitään ennen kuin maksajan tilille jostain putkahtaa vähintään se 0,01 euroa, joka siis ei ole sama asia kuin nolla euroa tai miinus 0,01 euroa tai 222 euroa.

Jos matikkafilosofihörhöt mieltävät eri lukuja päässään samaksi, maksakoon jokainen heistä minun tililleni sen "ei yhtään mitään" luvun eli vaikkapa 0,01 euroa. Maksu tapahtukoon kerran tunnissa maailmanloppuun saakka. Tämähän ei heidän kukkarolleen ole nollaa suurempi menetys. Ja hups, minusta tulee miljonääri erittäin nopeasti. Koska kyseinen luku ei todellakaan ole nolla tai mitään muutakaan, vaan se on tasan 0,01 euroa ja sillä sipuli.

Maito+pulla ja vuokra maksetaan reaaliuniversumissa reaalisin numeroin ja todellisella positiivisella tilin saldolla. Filosofiset kompakysymykset ratkotaan hypoteettikadun x kerroksen asunnossa numero ääretön. Tervemenoa haahuilemaan sinne. Tuskin löydätte perille, mikä on teille aivan oikein. Ettekä saa maitoa ja pullaa, koska ette maksaneet laskuanne ajallaan ja pankkilaitoksen ymmärtämin reaalisin luvuin.

 

Naulan lyöminen vasaralla on fysikaalinen tapahtuma ja kosketus tapahtuu fysikaalisesti. Tapahtuuko kosketus sitten myös matemaattisessa mielessä riippuu siitä kuinka tarkka matemaattinen malli meillä on tuosta fysikaalisesta tapahtumasta.

 

Nämä ovat hyviä huomioita. Nuo kaikki ensimmäisen sivun todistukset ovat kyllä sinällään oikein, mutta niihin kaikkiin liittyy pieniä lisäkysymyksiä, jotka on itse asiassa vaikeampi todistaa oikeiksi kuin itse väite. Esim. voisi kysyä, että toimiiko päättymättömien desimaalilukujen erotus todellakin tuolla tavalla miten sitä on näissä todistuksissa käytetty. Vastaus on kyllä, mutta yrittäkääpä perustella miksi...

Sen sijaan suoraan aksioomista johdettuihin todistuksiin ei ole kenelläkään mitään sanomista. (Suurimmalle osalle tosin vain sen vuoksi, ettei niistä luultavasti ymmärretä mitään.)

 

Puhut ihan puutaheinää tällakertaa. Kukaan ei ole väittänyt että 0,99 = 1. Matematiikan lait eivät riipu laskinten laskentakyvystä.

 

No joo. Täytyy ottaa sanoja takaisin, kun vähän funtsin asiaa. Jos siis 1/3 voidaan merkitä myös 0,333... jossa desimaaleja on äärettömästi niin silloin 3* 1/3 = 3/3 = 1 = 0,999... = 3*0,333...

Pointti on tietenkin siinä, että desimaaleja täytyy olla äärettömästi, jos luku katkaistaan vaikka miljardin desimaalin kohdalta niin se on erisuuri kuin 1.

Raja-arvolla se voidaan tietenkin myös todistaa kuten 71 db teki. Pitäisi kai palata takaisin lipaston penkille, kun tässä alkaa tyhmentyä.

 

Tämä on ihan yksinkertainen lasku käyttäen ääretöntä geometrista sarjaa:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... = 0.9*(0.1)^0 + 0.9*(0.1)^1 + 0.9*(0.1)^2 + ...

ts. a=0.9 ja q=0.1. Koska suhdeluku on alle 1, voidaan heti sanoa että sarja suppenee ja siten tuolla äärettömällä summalla on jokin yksikäsitteinen arvo. Vastaus kysymykseen "päästäänkö perille" riippuu nyt siitä paljonko tuo arvo on, ja se taas on helppo laskea kaavaan sijoittamalla. Laske itse harjoitustehtävänä. (Samalla tulet itse ratkaisseeksi vastauksen tuohon ketjun alkuperäiseen kysymykseen geometrista sarjaa käyttäen, ja siihen ilmeisesti tällä kysymyksellä pyritkin...?)

 

Päättelysi menee metsään tässä kohtaa. Sinä olet sitä mieltä, että matemaatikot pyöristävät ja tietokoneet laskevat tarkasti. Valitettavasti päättymättömien desimaalilukujen kohdalla tilanne on juuri päinvastoin: matemaatikot laskevat tarkasti kun taas tietokoneella voidaan laskea vain likiarvoja. Ongelmia syntyy nimenomaan silloin, jos tietokoneessa ei laskentakapasiteetti riitäkään ja joudutaan pyöristelemään liikaa. Ongelma ei välttämättä näy siellä maitokaupassa, mutta esim. jo kuulentoa suunnitellessa kannattaakin olla jo vähän tarkempana mistä kohtaa luvun uskaltaa katkaista. Silloin tarvitaan yleensä sitä matemaatikkoa, joka osaa asiaan vastata.

 

Eipäs. IHMISET pyöristelevät liian innokkaasti, etenkin filosofisia kompia tarjoilevat sadistit, kiusaamaan kaduntallaajan pääparkaa.

Koneet kyllä laskevat tarkasti ja oikein. Kunhan niille syötetään arvot oikein, ilman päässä pyöristelyitä. Jokainen merkki kuten sen kuuluu olla.

Esimerkkinä tietokoneen laskentatarkkuudesta annan alla piin likiarvosta pienen alkupätkän. Koneeni laskentatarkkuus ei todellakaan yllä noin pitkän numeron ilmaisemiseen, sanapituus ei ole lähellekään riittävä, eli piin arvo ei mahdu mitenkään yhteen muistipaikkaan tai 64-bittiseen sanaan. Mutta siitä huolimatta kone virheettömästi käsittelee pitkiäkin lukuja.

Pöh: 5,35 MEGATAVUA pitkä tekstifile ei millään mahdu liitteeksi tai tähän replytekstiin, mutta pannaan nyt malliksi ihan pikkuruinen 2000 desimaalin minipätkä kuitenkin. Todistamaan, että kotitietokoneella saa käsiteltyä pitkiäkin lukuja ilman pyöristysvirheitä. Siinä missä ihminen varmaan tekisi virheen viimeistään raapusteltuaan paperille miljardinnen desimaalin.

Kone jaksaa tallentaa piin desimaaleja vaikka tuhat kiintolevyä täyteen, tai miljardi kiintolevyä täyteen. Luultavasti kotikotikoneellakin voi laskea avaruusraketin radan, jos kerran piin arvoa saa laskettua niin pitkälti, että maapallon kaikki kiintolevyt ovat sitä arvoa täynnä. Pienempikin desimaalimäärä riittää lentoreitin laskentaan.



Piin arvo lyhyesti ilmaistuna on (ilman mitään pyöristelyjä, edes viimeistä numeroa ei ole muutettu):

kolme pilkku
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 : 50
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 : 100
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 : 150
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 : 200
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 : 250
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 : 300
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 : 350
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 : 400
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 : 450
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 : 500

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 : 550
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 : 600
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 : 650
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 : 700
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 : 750
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 : 800
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 : 850
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 : 900
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 : 950
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 : 1000

3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 : 1050
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 : 1100
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 : 1150
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 : 1200
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 : 1250
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 : 1300
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 : 1350
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 : 1400
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 : 1450
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955 : 1500

3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 : 1550
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 : 1600
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548 : 1650
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333 : 1700
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 : 1750
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 : 1800
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511 : 1850
7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863 : 1900
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287 : 1950
4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009 : 2000

 

Ihmiset ehkä, matemaatikot eivät.

Esimerkiksi lukua 1/3 tietokone voi käsitellä vain likiarvona. Murtolukua se ei ymmärrä ja desimaalimuotoesityksessä muistiavaruus ei ole ääretön.

EDIT: no tämä alkoi nyt mietityttämään. Onkohan asia näin? Joka tapauksessa muistiavaruus loppuu kesken vaikkapa lukua 0.999... käsiteltäessä.

 

Piin arvo on perusesimerkki päättymättömästä desimaaliluvusta. Sen arvoa ei siis voi koskaan esittää loppuun asti vaikka käytössä olisi kuinka paljon kapasiteettia tahansa. Sinä puhut nyt ainoastaan piin tunnetuista desimaaleista. Näitä lasketaan koko ajan lisää, tälläkin hetkellä maailmalla isot tietokoneet raksuttelevat tämän ongelman parissa. Loppuun asti ei kuitenkaan päästä koskaan.

 

Jos tililläsi on 0,9999..... miljoonaa euroa, niin et voi kutsua itseäsi miljonääriksi, joten 0,999.... ei ole 1

Näin kirjanpitomatematiikkani perusteella

 

Puhut puutaheinää. En ole väittänyt, että kaavat tai lait liittyisivät laskinten kykyihin mitenkään. Kaavakin on ikuisesti sama kaava, oli taskulaskin minkä värinen tahansa. Laskimen väri/merkki/hinta ei muuta kaavaa mitenkään.

Väitin, että soveltaminen kusee, että ihminen tekee virheitä tulkitessaan painettua lukua eri menetelmillä ja siirtäessään sitä laskimeen eri tavalla pyöristellen.



Kun paperilla lukee, että:

5,55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

ja se syötetään koneeseen pyöristyshullun filosofin mielestä arvona 5 tai kaduntallaajan tekemänä arvolla 5,55555555555555555555555555555 niin tässä kohdassa tapahtui fataali murha, kaikki on pilalla, jatkolaskutoimet ovat vääriä, rajusti pyöristysvirheellisiä. Ihminen möhli.

Paperilla oleva luku täytyisi syöttää koneelle tässä muodossa:

5,55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

niin ongelmia ei esiintyisi.



Minä tahallani kärjistin asian selkeyden parantamiseksi. Käyttämällä rajusti lyhennettyä ilmaisua 0,9999, vaikka alunperin luku siis muistuttaa ennemmin seuraavaa, mutta kukaan ei olisi tajunnut mitään jos tällaista tavaraa olisi näkynyt tuhat sivua pitkälti:

0,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

 

Ja tässä kohtaa sinä nimenomaan teet virheen: päättymätöntä desimaalilukua ei voi kirjoittaa loppuun asti, ei edes sillä tuhannella sivulla. Päättymätön ja päättyvä ovat eri asioita.